Les propriétés de notre système de numération écrit en chiffres
Notre système de numération écrit en chiffres est dit positionnel et décimal. Cela signifie qu’il possède les propriétés suivantes :
1) Pour écrire les nombres nous utilisons 10 chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Un chiffre est un caractère d’imprimerie, il permet d’écrire et non pas de compter. On peut comparer les chiffres aux lettres. Les lettres ne sont pas des mots, elles permettent d’écrire les mots. Il y a des nombres d’un ou plusieurs chiffres comme il y a des mots de une ou plusieurs lettres…Un chiffre peut être rouge, vert, bleu, minuscule ou énorme mais ce n’est jamais le cas pour un nombre :
2 ou 2 désignent des chiffres de tailles différentes, mais désigne un seul et même nombre.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 selon le contexte peuvent être des chiffres ou des nombres. Dans un calcul comme 2+3=5, 2, 3, et 5 sont des nombres.
2) La place des chiffres dans l’écriture des nombres indique sa valeur. Ainsi dans 111 le chiffre 1 selon sa place a pour valeur de droite à gauche : 1, 10 ou 100.
La valeur des chiffres dans l’écriture des nombres exprime aussi (de droite à gauche) des groupements de 1, 10, 100, 1000, 10000 etc….que l’on peut écrire sous forme de puissances : 100;101;102;103 etc….( l’exposant est égal au nombre de zéros ) .
Tout nombre peut se décomposer suivant les puissances de dix.
Exemple : 4932 = 4x1000 + 9x100 + 3x10 + 2x1
u désigne le chiffre des unités ; d désigne le chiffre des dizaines, c chez le chiffre des centaines ; m le chiffre des unités dans la classe des milliers.
Cette égalité est très utile dans les problèmes ! Elle est à savoir par cœur, il faut la connaître avec des lettres et avec des chiffres.
C’est parce qu’elleest essentielle qu’elle s’appelle décomposition canonique des nombres entiers naturels.
3) On dit que la base de notre système de numération est dix ou que notre système est décimal car les groupements et les échanges à effectuer à partir d’une collection d’objets pour trouver le nombre d’objets sont toujours par dix.
Pourquoi avons-nous adopté la base dix ? Parce que nous comptons depuis très longtemps sur nos doigts et que nous en avons dix.
4) Tous les chiffres de 0 à 9 se combinent avec le 1 pour écrire tous les nombres de 10 à 19, puis avec le 2 pour écrire tous les nombres de 20 à 29 et ainsi de suite jusqu'à 99. On obtient les nombres de trois chiffres jusqu'à 999 en faisant précéder chacun des nombres de deux chiffres jusqu'à 99 du 1, puis du 2, etc. jusqu’à 9. Cette règle se répète pour les nombres de quatre, cinq, etc. chiffres.
5) Dix unités d'un ordre donné constituent une unité de l'ordre immédiatement supérieur. C'est la règle des groupements et des échanges « dix contre un » (dix unités s’échangent contre une dizaine, dix dizaines s’échangent contre une centaine …). D’où le nom de système décimal.
6) Le chiffre zéro indique l'absence de groupement d'un ordre donné. L’humanité a mis du temps pour inventer cette découverte fondamentale qu’est le 0. Sans lui, les opérations seraient impossible !
Remarques :
- Il y a autant de chiffres que la valeur de la base, c’est-à-dire dix ici.
- Dans le langage courant, il arrive que l’on dise chiffre à la place de nombre. On parle par exemple de chiffre d’affaires en économie. Cette expression ne se situe pas dans un contexte mathématique, le jour du concours confondre chiffre et nombre est sanctionné, c’est un peu comme une faute d’orthographe. Comme l’enseignement à partir du CP prend en compte les propriétés des entiers naturels, il est important d’avoir du vocabulaire mathématique et de l’employer en classe de façon adaptée aux enfants dès le CP. La graphie des chiffres, c’est à dire leur forme, est sans rapport avec la quantité, avec le nombre désigné.