1- Objectif :
Amener les élèves à utiliser une procédure numérique pour réaliser une collection qui comporte la même quantité d’objets (les voyageurs) qu’une autre collection (les places libres).
Compétences travaillées :

• exprimer et garder en mémoire une quantité
• reconnaître globalement et exprimer des très petites quantités
• dénombrer une quantité en utilisant la suite orale des nombres

2- Les procédures envisageables
Il s’agit ici d’identifier des procédures non numériques, celle qui est attendue par le maître consistant à utiliser le nombre. Dans certains conditions, l’élève peut éviter le nombre en mémorisant la configuration des places libres, en faisant correspondre terme à terme (en utilisant une collection relais : doigts, croix dessinées sur une feuille,...) ou en faisant une correspondance paquet à paquet (chaque paquet étant organisé comme une collection témoin connue).

3- Variables didactiques

Certaines « modalités » de variables didactiques apparaissent dans le descriptif de la situation : l’éloignement de la réserve de voyageurs, des places déjà occupées. Parmi les variables que le maître peut modifier, on peut citer :

• le nombre de places libres (la taille de la collection) ; il faut un nombre assez important pour bloquer les procédures non numériques ;
   
• l’organisation spatiale des places libres ; il faut éviter que la collection de places libres soit organisée en « paquets » mémorisables, sans dénombrement, comme des constellations ;
   
• le nombre d’essais autorisés ; pour certains enfants, avoir droit à deux voyages permet de se corriger ;
   
• le matériel mis à disposition, il ne faut pas donner à l’élève les moyens de réaliser une collection relais.
   

4- Procédures de validation
Extrait 1 :

• récitation de la comptine numérique sur les deux collections
  Dans cet extrait, quand le maître demande « Combien y a-t-il de places libres ? » ; pour répondre, l’enfant recompte « 1, 2, ..., 7 ». Cet enfant n’a pas acquis le principe cardinal ; il ne sait pas que le dernier mot cité est le cardinal de la collecction.
  Extrait 2 :
• disposition des voyageurs sur le quai en reproduisant la configuration des places libres
• correspondance terme à terme (celui-là, là,...)
• dénombrement des deux collections (places libres et voyageurs rapportés) puis comparaison

1- Objectif principal :
Amener les élèves à utiliser une procédure adaptée relevant du comptage (donc ne répondant pas au hasard) pour anticiper le résultat d’une action, ici, trouver la quantité obtenue par réunion de deux collections.

2- Procédures envisagées (extrait de ERMEL, GS, Apprentissages numériques et résolution de problèmes, Charnay et al., 2005 page 133)

Règle1 :

• comptage un à un (sans reconnaissance des constellations)
• surcomptage avec reconnaissance perceptive globale d’une des deux constellations du dé
• calcul avec utilisation de résultats mémorisés

Règles 2 et 3, apparition de stratégies relatives à la complémentarité

• partage d’une collection en deux aléatoirement
• utilisation du prédécesseur (5+1 pour faire 6)
• utilisation des doubles (2 et 2 font 4)
• surcomptage
   

3- Variables didactiques

• Les billets peuvent reproduire les constellations ou les écritures chiffrées des nombres
• Nombre de morceaux composant le cochon
• Les morceaux du cochon peut être numérotés autrement (par exemple : 7, 10, 6, 12, 8, 5, 4, 9) ; il faut ajuster dans ce cas la valeur des billets.

Les boîtes (le nombre pour comparer)
1- Objectif principal : amener les élèves à utiliser le nombre comme outil privilégié pour résoudre des problèmes de comparaison

2- Procédures envisageables (Extrait de ERMEL, GS, Apprentissages numériques et résolution de problèmes, Charnay et al., 2005, page 66)

- Procédures n’utilisant pas les nombres

• Estimation.

Les comparaison se font en tenant compte soir de la disposition spatiale (place occupée, disposition des objets) soir d’un certains sens de la pluralité... Cette procédure est très fruste, peu fiable dans le cas où les collections sont constituées d’objets dissemblables ou quand les nombres à comparer sont voisins.

• Reconnaissance perceptive globale

Elle est vite utilisée par tous les enfants our 1 et 2. Cette perception s’étend ensuite sans toutefois dépasser 4 ou 5. Sauf disposition spatiale particulière

• Utilisation des doigts

Ils peuvent utiliser pour figurer les objets et faciliter la comparaison avec points du dé.

• Comparaison figurale

Elle s’appuie sur la possibilité de reproduire avec les objets une (des) figures(s) d’un dé usuel.

• Correspondance terme à terme

Les objets des deux collections sont mis en relation un à un, soit spatialement, soit en utilisant un « lien verbal »

• Utilisation de représentations

Dans le cas où les collections à comparer sont éloignées l’une de l’autre, une représentation des collections ou de l’une d’entre elles peut permettre une comparaison plus aisée.
 

- Procédures utilisant le nombre

• Utilisation de sous-collections

Cela consiste à décomposer une collection (5objets) en sous-collection (par exemple 3 et 2) rendant ainsi la comparaison évidente (3+2>3).

• Dénombrement

On compte les objets d’une collection puis les objets de l’autre et on compare les 2 nombres obtenus.

• Utilisation de la comptine

On utilise le fait que, si en dénombrant une collection on dépasse le cardinal d’une autre collection, cette collection est plus grande.

• Surcomptage

Cette procédure prend appui sur une reconnaissance perceptive globale d’une partie de la collection à dénombrer : « 5... 6, 7, 8, 9 » Procédures utilisant des connaissances sur les nombres

• Utilisation de résultats mémorisés

« 3 c’est moins que 5 », « 6 et 6, 12 »

• Reconnaissance de l’écriture des nombres

Ces procédures apparaissent lorsqu’on remplace les points des dés ou les gommettes figurant sur les cartes par des nombres. Dans ces cas, soit l’enfant reconnaît l’écriture du nombre, soit il a recours à la bande numérique.

• Utilisation de comparaisons partielles

Pour comparer un gain fait de 4 objets, puis de 3 objets, puis d’un seul objet à un gain fait de 3 objets, puis de 2 objets, puis de 2 objets, quelques enfants comparent 3 et 3, puis 4 et « 2 et 2 » et concluent que la première collection a plus d’objets que la seconde.

3- Variables didactiques

• La nature des informations et du matériel

Les collections peuvent être composées d’objets manipulables ou fixés ou représentés. Exemple de gestion de cette variable : Si des enfants n’utilisent que des correspondances terme à terme en déplaçant les objets, on peut leur proposer une activité avec des objets collés qui rendent difficiles ces correspondances.

• La nature de ce qui est comparé

- une collection et un nombre représenté (par des points sur le dé par exemple)
- un nombre écrit et une collection
- deux nombres écrits

En changeant le nature de ce qui est comparé, on incite les enfants à utiliser des procédures plus facilement transférables telles que celles qui recourent au nombre.

• Champ numérique

- la taille des nombres pour les comparaisons intermédiaires et pour la comparaison finale
- le nombre de collections (le nombre de boîtes)
- l’écart entre les nombres comparés