Multiples et diviseurs
Définition : Soit b un entier, on appelle multiple de b, le produit de b par un entier quelconque, c'est-à-dire tout entier a tel que a=b x q (q entier naturel).
Remarques : On écrit aussi bien b x q ou bq.
0 est un multiple de tout nombre entier.
Cas particulier : Un nombre pair est un multiple de 2.
Exemple :
Les résultats de la table des 5 sont des multiples de 5.
Dans la table des 5, on trouve : 5x0 ; 5x1 ; 5x2 ; 5x3 ; 5x4 …jusqu’à 5x10 en général. Néanmoins, la suite des multiples de 5 se prolonge à l’infini.
En général, un multiple de 5 s’écrit 5xk ou 5k.
Remarque : Les multiples de 5 s’obtiennent à partir de 0 en comptant de 5 en 5.
Définition : Si a est un multiple de b, on dit que b est un diviseur de a.
Il s’agit juste d’inverser la place des nombres dans la phrase.
Remarques :
Tout nombre est un multiple de lui-même.
1 est toujours un diviseur de tout nombre a.
0 n’est jamais un diviseur de a.
- Propriétés :
La somme ou la différence de deux multiples de b est un multiple de b.
Si b est un diviseur de deux nombres, il est diviseur de leur somme et de leur différence.
Tout diviseur d’un diviseur de a est un nouveau diviseur de a.
- Nombres premiers
Définition : On dit qu’un nombre est un nombre premier si ses seuls diviseurs sont 1 et lui-même.
Exemples : il existe une infinité de nombres premiers, ce sont dans l’ordre :
1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; etc …..
Les nombres pairs sauf 2 ne sont pas des nombres premiers.
- Critères de divisibilité (ou comment reconnaître directement certains multiples)
Un entier est pair (ou divisible par 2) s’il a pour chiffre des unités 0, 2, 4, 6, 8.
Un entier est un multiple de 5 s’il a pour chiffre des unités 0 ou 5.
Un multiple de 10 a pour chiffre des unités 0.
Un multiple de 3 (resp de 9) se reconnait à la somme de ses chiffres qui est divisible par 3 (resp 9).