Une compétence essentielle en numération « groupements et échanges
dix contre un »
Fin de la progression du jeu du banquier dizaine, centaine.
étape 3 : les échanges dix contre un
CP-CE1-CE2

Objectif mathématique : amener les élèves à comprendre que l’écriture chiffrée des nombres est issue des groupements et des échanges dix contre un.

Les échanges 10 contre 1

Le jeu du banquier se déroule dans sa totalité, au moins pendant 4 semaines consécutives, à raison de deux ou trois séances par semaine environ, de façon à faciliter l’appropriation des notions et la mémorisation des acquis.
Sont indiquées ici quatre paliers à franchir pour cette troisième étape. Il est souvent nécessaire de faire plusieurs séances pour permettre aux élèves de franchir l’un de ces paliers. Parfois il est possible de franchir plusieurs paliers au cours d’une même séance.

 

On présente la nouvelle règle d’échange aux élèves ainsi que l’abaque, sans leur expliquer son fonctionnement, mais en leur indiquant seulement comment le positionner et où poser les jetons gagnés à chaque jet de dé (dans la colonne la plus à droite de l’abaque).
Modèle d’abaque : (une feuille A4 convient très bien)

Échange 10 contre 1
10 jetons d’une case sont échangés contre 1 jeton totalement identique.
 

Problème :
comment indiquer que le jeton échangé n’a pas la même valeur que les autres puisque la couleur ne permet plus de les différencier ?

Laisser les élèves faire des propositions. S’ils ne trouvent pas la solution attendue, leur dire que c’est la position du jeton qui permet de modifier sa valeur, et qu’un jeton échangé contre 10 jetons de la case de droite sera mis dans la case située juste à sa gauche, pour indiquer qu’il a changé de valeur.
 

Installation du jeu

Les 2 joueurs sont côte à côte et l’arbitre banquier se place entre les deux joueurs.
Chaque joueur a un abaque à trois colonnes. Le banquier a des pions de même taille et de même couleur.

L’un des coins de la colonne de droite est colorié (ou découpé) pour indiquer le sens d’utilisation de l’abaque.

Même si l’on n’utilise pas la troisième colonne lors du jeu, parce qu’on ne jouera pas suffisamment longtemps, il est important qu’elle figure car cela permet aux élèves d’anticiper les autres échanges.

Il est certain que certains élèves utiliseront ces colonnes à mauvais escient, mais cela n’a pas d’importance car cela permettra à la classe de réfléchir sur ces erreurs et de comprendre vraiment la façon de faire les échanges.

D’autre part, il vaut mieux ne pas mettre 10 cases à l’intérieur dans chaque colonne afin que les élèves prennent conscience de l’échange à 10 et ne se contentent pas de vider une colonne lorsqu’elle est pleine.

Cette fois-ci ce n’est plus la couleur qui permettra de différencier les pions mais leur place.

 

Echange 10 contre 1

Laisser les élèves jouer un certain temps en circulant dans les différents groupes.

En général, si l’on veut que le jeu ne dure pas trop longtemps, on n’atteindra pas la colonne des centaines.
 

Remarque :
Il n’est pas rare que certains groupes posent leurs jetons dans les mauvaises colonnes. Faire alors rappeler la règle d’échange. Il peut être intéressant d’utiliser une telle partie dans la synthèse afin de faire réfléchir la classe sur cette erreur.
 

Problème : Qui a gagné ?
 

Difficulté :
comprendre que ce n’est pas le nombre de jetons gagnés qui permet de conclure, mais la valeur des pions gagnés, repérée par la place qu’ils occupent sur l’abaque. Même si les élèves ne faisaient plus cette erreur lors des parties avec échange de pions de couleur, il n’est pas rare qu’à cette étape « échange 10 contre 1 » les élèves fassent à nouveau cette erreur de comparaison.

Lors de la synthèse faire argumenter les réponses.

Il est nécessaire de refaire les échanges à l’envers lors du quatrième palier.

Utiliser des parties fictives inventées par le professeur, pour proposer aux élèves des situations qui posent de réels problèmes car on ne les rencontre pas de façon systématique lors de parties réelles.
 

Problème à résoudre : Qui a gagné ?

Exemple de parties qui posent problème aux élèves :

C’est celui qui a le moins de jetons, toutes cases confondues, qui gagne car la position du jeton donne une valeur différente aux différents jetons.
Les deux joueurs ont le même nombre de jetons, toutes cases confondues, et seule la place des jetons permet de conclure.
Il y a égalité pour le niveau le plus fort et c’est le niveau suivant qui permet de conclure.
Utiliser des parties fictives avec une case vide.

Écrire en chiffres le nombre de jetons contenus dans chaque case, sans nécessairement lire le nombre de façon habituelle. Attendre que les élèves le proposent. (Peut-être).

On peut également demander aux élèves de fabriquer des parties fictives en donnant des contraintes.

Exemple :
On propose le jeu du premier joueur et il faut imaginer le jeu du deuxième joueur pour qu’il gagne. On peut affiner les contraintes en imposant un nombre de jetons à utiliser dans la colonne des dizaines par exemple.
 

Echange 10 contre 1 (décodage)
 

On utilise des parties fictives et l’écriture chiffrée des gains.

Il s’agit pour les élèves de retrouver le nombre de pions gagnés, avant les échanges, dans des cas simples (pas trop de jetons) et de vérifier qui a gagné avant et après décodage.

On peut aussi tenter de voir si les élèves sont capables d’étendre l’échange 10 contre 1 à la colonne des centaines.

On termine cette étape par une évaluation dans laquelle on propose des parties fictives et où l’on demande de :

Finir les échanges
Qui a gagné ? Justifier sa réponse
Retrouver le nombre de pions gagnés avant les échanges.

On peut aussi tenter de voir si certains élèves sont capables d’étendre l’échange 10 contre 1 à la colonne suivante, uniquement à titre indicatif.

Voir clips commentés des séances « Comprendre la dizaine : le jeu du banquier 10 contre 1 avec secrétaire » et « Comprendre la dizaine le jeu du banquier 10 contre 1 sans secrétaire ».

Cerquetti-Aberkane Françoise, Marilier Marie-Christine