Exemples de problèmes multiplicatifs simples.

Au début de la progression, il faut commencer par le niveau le plus simple, c’est-à-dire
des nombres entiers à un, deux ou trois chiffres, un contexte bien connu des élèves avec
du matériel sous les yeux (mais pas nécessairement manipulable), pas de difficulté
d’expression et une organisation énonciative simple.

Exemple : Problème des oeufs

Matériel :

• Quelques boîtes pouvant accueillir 6 œufs
• Quelques boîtes pouvant accueillir 10 œufs
• Quelques boîtes pouvant accueillir 12 œufs
• Des feuilles où sont schématisées des boîtes.

Consigne :

« Trouver le nombre de boîtes de 6 œufs pour ranger 12 ? 36 œufs ? 48 ? 60 ? 72 ? »
« Trouver le nombre de boîtes de 10 œufs pour ranger 40 ? 60 œufs ? 120 ? 150 ? 260 ? »
« Trouver le nombre de boîtes de 12 œufs pour ranger 12 œufs ? 36 œufs ? 48 ? 60 ? 72 ? »

Puis, il faut tenir compte des catégories de problèmes. Trois grandes classes peuvent être
considérées. Ne pas oublier, que ces problèmes peuvent de façon régulière être
accompagnés de schémas.
 

Exemple 1 : « Le jardinier a planté 5 rangées de 6 salades. Combien de salades a-t-il
plantées ? »

Il faut remarquer que certains enfants rencontrent des difficultés par le fait qu'ils ne
comprennent pas pourquoi le produit d'un nombre de rangées par un nombre de salades
donne un nombre de salades et non pas un nombre de rangées.

Pour pallier cet obstacle, faire apparaître un troisième nombre dans le problème (l'unité,
qui correspond à l'expression par rangée). Cela permet de mettre en évidence trois
nombres et non pas deux et d'obtenir une disposition du type :

● ● ● ● ● ● 6 salades sur la première rangée
● ● ● ● ● ●
● ● ● ● ● ●
● ● ● ● ● ●
● ● ● ● ● ● Combien y a-t-il de salades sur les 5 rangées dessinées sur le schéma ?

Le calcul associé est alors : 6+6+6+6+6 ou 6X5 ou 5X6.

II apparaît alors plus nettement que la multiplication par 5 se fait avec un nombre sans
unité, ce qui explique qu'on obtient un nombre de salades dans le résultat final.

Exemple 2 : Problèmes avec des grilles rectangulaires quadrillées

Objectifs :

• Savoir utiliser la multiplication pour trouver le nombre d’éléments d’une grille rectangulaire.
• Savoir résoudre des problèmes de division liés à cette configuration (sans connaître la technique opératoire)
• Expliciter et valider la commutativité de la multiplication.

Matériel :

Feuilles de papier présentant des grilles rectangulaires.

Phase 1
Consigne :

« Trouver le nombre de carreaux de chaque rectangle »

Exemples de démarches d’élèves : Comptage des carreaux un par un, comptage de deux
en deux, de trois en trois etc., par colonnes, par lignes...

La synthèse doit permettre de faire le lien entre multiplication et addition itérée, un des
facteurs représentant le nombre itéré et l’autre le nombre d’itérations (ce qui fonctionne
d’ailleurs pour les 3 catégories de problèmes).

Phase 2
Consigne :

« Où faut-il couper le rectangle donné pour obtenir un rectangle de 32 carreaux ? »


Donner plusieurs problèmes du même type.

Phase 3
Consigne :

« Trouver les deux dimensions de rectangles connaissant le nombre de carreaux »

Exemple : Trouver des rectangles de 48 carreaux.
 

C’est la classe de situations la plus fréquente.

Exemple 3 : « Un objet coûte 7 euros, combien coûtent 5 objets ? »
Ce problème met en jeu deux grandeurs, le nombre d’objets et l’argent (la valeur d’un ou
plusieurs objets) et la relation entre ces deux grandeurs (ici, il s’agit aussi des propriétés
de la proportionnalité).

Exemple 4 : (ici, tous les objets ont le même prix)
« Si 3 objets coûtent 12 euros et 4 objets coûtent 16 euros, combien coûtent 7 objets ? »

Exemple 5 : « Si 3 objets coûtent 4 euros, combien coûtent 15 objets ? »
On transforme la multiplication par un nombre d’un élément du premier ensemble vers la
multiplication par le même nombre d’un élément du deuxième ensemble.

Exemple 6 : « Si 3 objets coûtent 12 euros et que 5 objets coûtent 20 euros, combien
coûtent 15 objets ? »

Ici, on ne transporte pas la multiplication de la même manière, 15 objets ne coûtent pas
240 euros.

Les problèmes les plus faciles sont les problèmes correspondant aux exemples 1, 2, et
4 ; il faut commencer par ceux-là.
 

Exemple 7 : « Pierre a 7 bonbons et Julie en a 3 fois plus. Combien en a Julie ? »

Exemple 8 : « Il faut 4 kg de peinture pour peindre le portail et il en faut 12 kg pour
peindre le mur. Combien de fois plus en faut-il pour peindre le mur? »

La difficulté principale vient de l'utilisation de l'expression fois plus qui présente, à
l'évidence, des difficultés de compréhension. Il convient de faire un travail spécifique à ce
sujet et la différencier de l'expression fois moins qui apparaîtra en relation avec la
division.

Les usages de la multiplication sont donc complexes. Dès que l’on pose un problème
relevant du calcul d’un produit, il faut être conscient que pour de nombreuses situations
multiplicatives, il est possible de rapprocher ces situations de celle de la proportionnalité
simple. Par exemple, il suffit de remplacer dans l’énoncé : « Un objet coûte 9 euros,
combien coûtent 5 objets ? » l’unité « Un » par un autre nombre. En effet, il faut avoir
admis que le prix des objets est proportionnel au nombre d’objets pour envisager une
multiplication. Il est donc utile de fournir une aide aux élèves qui ont des difficultés à
utiliser la multiplication dans un problème, en leur faisant prendre conscience de
l’existence d’une référence à l’unité (répétition d’un mot, comme dans une rangée, il y a
...) usage de chacun, chaque...

Marie-Christine Marilier (2012)