Notion théorique : Domaine multiplicatif (multiplication, division)

Lors de la résolution de situations multiplicatives, l’usage de la multiplication n’a pas le même statut dans tous les problèmes. (1)

Trois grandes classes de problèmes peuvent être considérées en gardant à l’esprit que la relation peut être une multiplication, une division, ou la proportionnalité sans que la catégorie ne change fondamentalement. En effet, il faut distinguer ce qui est lié à la situation multiplicative et l’opération qui permet de répondre à la question posée.

Problème catégorie 1 (Le produit de mesures)

Le produit de mesures, dont l’exemple le plus classique est celui du calcul d’aire, fait intervenir deux grandeurs.

Mais c’est aussi le cas de toutes les situations qui peuvent avoir une représentation en tableau ou en rectangle. En effet, le nombre de carreaux contenus dans une grille rectangulaire peut se calculer à l’aide du produit du nombre de lignes et du nombre de colonnes ou du nombre de colonnes et du nombre de lignes.

• Problème 1: Un jardinier a planté ses salades en 4 rangées régulières, comportant chacune 10 salades. Combien y a t il de salades dans ce potager ?
  (Réponse : 40 salades)
   
• Problème 2 : Un carreleur doit disposer des carreaux sur un mur, sur la largeur, il y en 5, en hauteur il y a 11 rangées. Quel le nombre de carreaux a placer sur le mur ?
  (Réponse : 55 carreaux)
   
• Problème 3 : Combien de menus peut on constituer en proposant 2 entrées, 3 plats et 5 desserts ?
  (Réponse : 2x3x5 = 30 menus)
   
• Problème 4 : Une grille rectangulaire a 24 carreaux, chaque ligne en a 8, combien y a t il de colonnes ?
  (Réponse : 24 : 8 = 3 ; 3 colonnes)
   

Remarque : Ces quatre problèmes sont du même type et pourtant le dernier utilise une multiplication à trou ou une division. Les deux premiers peuvent également utiliser une addition réitérée.
 

Problème catégorie 2 (La comparaison de mesures)

• Exemple 1 : Pierre a 7 bonbons et Julie en a 3 fois plus. Combien en a Julie ?
   
• Exemple 2 : II y a 3 fois plus de chaises dans ta cantine que dans la classe. Il y en a 26 dans la classe. Combien y en a-t-il dans la cantine ?
   
• Exemple 3 : Jean a gagné trois fois plus de billes que Pierre, il en a 27, combien en a Pierre ?

Ce sont des problèmes qui ne font intervenir qu’une seule grandeur, des relations sont établies à l’intérieur de cette grandeur.

La difficulté principale vient de l'utilisation de l'expression fois plus qui présente, à l'évidence, des difficultés de compréhension. Il convient de faire un travail spécifique à ce sujet et la différencier de l'expression fois moins qui apparaîtra en relation avec la division.
 

Problème catégorie 3 (L'isomorphisme de mesures)

L’isomorphisme de mesures est la classe de situations la plus fréquente. Elle met en relation entre elles deux ensembles de grandeurs. Ce qui la rend quelquefois délicate à traiter (nous sommes en présence de deux grandeurs qui ne varie pas indépendamment l’une de l’autre).

• Exemple 1 :
  Un objet coûte 7 euro, combien coûtent 5 objets ?
  Ce problème met en jeu deux grandeurs, le nombre d’objets et l’argent (la valeur d’un ou plusieurs objets) ainsi que la relation entre ces deux grandeurs (ici il s’agit aussi des propriétés de la proportionnalité).
   
• Exemple 2 : ( ici tous les objets ont le même prix)
  Si 3 objets coûtent 12 euro et 4 objets coûtent 16 euro, combien coûtent 7 objets ?
   
• Exemple 3 :
  Si 3 objets coûtent 4 euro, combien coûtent 15 objets ? (on transforme la multiplication par un nombre d’un élément du premier ensemble vers la multiplication par le même nombre d’un élément du deuxième ensemble.
   
• Exemple 4:
  Si 3 objets coûtent 12 euro et que 5 objets coûtent 20 euro. Combien coûtent 15 objets ? Ici, on ne transporte pas la multiplication de la même manière, 15 objets ne coûtent pas 240 euro.
  Les problèmes les plus faciles sont les problèmes correspondant aux exemples 1,2, et 4.
   

REMARQUE : pour ce qui concerne l'emploi des nombres décimaux, il convient de relever des difficultés spécifiques.

    1. Lorsque dans un problème on a à calculer le produit d'un décimal par un entier, le cas le plus simple se produit lorsque le multiplicateur est entier. Ainsi, il est plus facile pour un enfant de calculer le prix de 4 stylos à 1,80 euro le stylo que de calculer le prix de 1,80 kg de pommes à 4 euro le kg.

    2. Le cas le plus complexe se produit lorsque le multipli¬cateur est un nombre inférieur à 1 :
dans ce cas, on obtient un résultat inférieur au multiplicande (par exemple 45 x 0,62 est inférieur à 45). Cela est en complète contradiction avec l'idée fréquente qu'un enfant se fait de la multiplication : une multiplication agrandit.
 

Les usages de la multiplication sont donc complexes.

Dès que l’on pose un problème relevant du calcul d’un produit, il faut être conscient que pour de nombreuses situations multiplicatives, il est possible de rapprocher ces situations de celles de la proportionnalité simple.
Par exemple, il suffit de remplacer dans l’énoncé : « Un objet coûte 9 euro, combien coûtent 5 objets ? » l’unité « Un » par un autre nombre. D’autre part, il arrive souvent que par exemple le prix des objets soit proportionnel au nombre d’objets pour envisager une multiplication mais que ceci ne soit pas explicitement dit. Il est donc utile de fournir une aide aux élèves qui ont des difficultés à utiliser la multiplication dans un problème, en leur faisant prendre conscience de l’existence d’une référence à l’unité.

Enfin, la classification proposée ici est aussi valable pour les situations de division car seule la place du nombre cherché change dans l’égalité a X b = c.

(1) Cet article est très largement inspiré des travaux de Gérard Vergnaud