Fiche de cours
Constructions de base et triangles

Introduction : les instruments utiles en géométrie pour construire les figures sont le compas, la règle graduée ou non graduée, l’équerre, le rapporteur.

Le compas sert à tracer des cercles et à reporter des longueurs.

La règle sert à tracer des segments, des demi-droites, des représentations de droites (une droite ne peut être représentée vraiment car elle n’a pas d’extrémités).

L’équerre permet de représenter un angle droit ou permet de vérifier qu’un angle est droit.

Le rapporteur est utile pour mesurer des angles.

Notations : Un segment d’extrémités A et B se note [AB]

Une droite qui passe par A et B se note (AB), on peut écrire (AB)=(EF) cela signifie que la droite passe également par E et par F. [AB]=[EF] n’est d’aucune utilité car cela signifie que les extrémités du segment ont deux noms.

Remarque : Deux points sont toujours alignés, la notion d’alignement n’a vraiment de sens qu’à partir de 3 points. Dire que 2 points sont alignés est une tautologie !

La médiatrice d’un segment est la perpendiculaire au milieu de ce segment.

C’est la première construction à savoir par cœur, elle permet ensuite de construire

• le milieu d’un segment
• la perpendiculaire à une droite en un point quelconque choisi ou non choisi

A partir de ces deux notions on peut obtenir des droites parallèles, des rectangles, etc…

On peut également utiliser la construction de la médiatrice pour construire un triangle isocèle non équilatéral, un triangle rectangle ou un triangle équilatéral.

Conseil : Au concours, si les instruments ne sont pas précisés, il est conseillé de n’utiliser que la règle non graduée et le compas. Les tracés doivent être bien lisibles, propres, précis et bien apparents. Aucune explication n’est à donner pour les constructions ci-dessus, elles seront indispensables pour des figures plus complexes.

Définitions :

La médiatrice d’un segment est l’ensemble des points qui se trouvent à égale des distances des extrémités de ce segment.

La médiatrice d’un segment ici [AB] est aussi axe de symétrie de ce segment.

Un triangle isocèle à au moins de côtés de même longueur, s’il en a trois, c’est en plus un triangle isocèle-équilatéral. Un triangle équilatéral est isocèle.

Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles, le rectangle, le losange et le carré méritent aussi le nom de parallélogramme car ils ont cette propriété.

Les droites remarquables dans un triangle

Un triangle a 3 sommets, 3 côtés, 3 angles. Un « vrai » triangle a ses 3 sommets non alignés. Pour avoir un vrai triangle, il faut que les points ne soient pas alignés dans ce cas, l’inégalité triangulaire est vérifiée, c’est à dire :

BC < AB+BC quand les points sont alignés on a l’égalité. Quand les points ne sont pas alignés l’inégalité est stricte.

On appelle droites remarquables : les hauteurs, les médianes, les médiatrices des côtés, les bissectrices des angles.

Chaque triangle a 3 hauteurs, 3 médianes, 3 médiatrices, 3 bissectrices.

Les hauteurs (2 cas)

Elles passent par un sommet et sont perpendiculaires au côté opposé

Les 3 hauteurs passent par un même point appelé orthocentre. On dit qu’elles sont concourantes.

Remarque : Les hauteurs ne sont pas toujours à l’intérieur du triangle, ainsi sur la figure de droite, deux d’entre elles sont à l’extérieur. Les hauteurs (BH) et (CH) sont à l’extérieur, (AH) passe à l’intérieur.

La longueur d’une hauteur intervient dans le calcul de l’aire d’un triangle. La formule :

(Bxh) : 2 utilise la longueur du segment qui est sur la hauteur entre la base et le sommet.

Les médianes

Elles passent par un sommet et le milieu du côté opposé.

Les 3 médianes passent par un même point appelé centre de gravité. On dit qu’elles sont concourantes.

Le centre de gravité utile aussi en sciences a une position particulière sur les médianes, il partage la médiane en 3 segments de même longueur en étant plus près du milieu du côté que du sommet.

Les médiatrices

Elles passent par le milieu d’un côté et est perpendiculaire à ce côté. Les 3 médiatrices passent par un même point appelé centre du cercle circonscrit. On dit qu’elles sont concourantes.

Remarque : médianes et médiatrices passent par le milieu d’un côté !

Les bissectrices

Elles passent par un sommet. Elles partagent les angles du triangle en deux angles superposables.

Les 3 bissectrices passent par un même point appelé centre du cercle inscrit. On dit qu’elles sont concourantes.