Exercice 2 : Je prends un nombre entier. Je lui ajoute 5, je multiplie le résultat par 7. J’ajoute alors au résultat le triple du nombre de départ. J’enlève 5. Le résultat obtenu est toujours un multiple de 10.

Réponse :
7(x+5)+ 3x-5 = 7x+35+3x-5 = 10x+30=10(x+3) qui est un multiple de 10.

Exercice 3 : Choisir un nombre entier naturel inférieur à 10. Le multiplier par 8547. Multiplier le résultat par 13. Pouviez-vous prévoir le résultat ?

Réponse :
8547 x 13= 111 111 si on multiplie un nombre entre 0 et 9 inclus, on obtient un nombre qui s’écrit : aaa aaa
Exemple :
3x8547x13 = 333 333

Exercice 4 : Certains chiffres manquent, compléter l’égalité : . 78954 x 345 . = 619 001 886

Réponse :
Commencer par le chiffre des unités du deuxième nombre. Pour que le résultat (le produit) se termine par un 6, on cherche dans la table des 4 : 4x4=16 ; 4x9=36, ce sont les seuls résultats qui ont 6 comme chiffre des unités.
On effectue les produits 78 954x3 454 = 272 707 116 puis 78 954x3 459 = 273 101 886
La réponse est donc 9.
Ensuite on peut diviser 619 001 886 par 3 459 pour trouver le premier nombre. On trouve 178 954.

Exercice 5 : Quel est le chiffre des unités du nombre obtenu en multipliant tous les nombres impairs compris entre 1 et 99 ? même question pour les nombres entre 1 et 93 ?

Réponse :
5 est un nombre impair. Comme le résultat est un multiple de 5, il ne peut se terminer que par 0 ou 5 dans les deux cas.
Si le chiffre des unités était 0, le nombre serait pair. Ceci est impossible, il n’y aucun multiple de 2.
La réponse est donc 5.

Exercice 6 : Décomposer 111 111 en un produit de facteurs premiers puis montrer que 888 888 est divisible par 37. Préciser sa décomposition en facteurs premiers.

Réponse :
Nous avons constaté dans l’exercice 3 que 8547x13= 111 111
13 est un nombre premier. 38547 est un multiple de 3, la somme de ses chiffres vaut 24.
8547= 3x2849. 3 est un nombre premier.
2849=7x407 en effet 2849=28x100+49, 7 est un nombre premier.
407 = 11x37 qui sont tous les deux premiers.
Finalement : 13x3x7x11x37 = 111 111 est la décomposition cherchée. Comme 111 111 est divisible par 37,
8 x 111 111 est également divisible par 37.

Exercice 7 : Voici une façon de poser une multiplication. Expliquez cette méthode.

Présentation de la méthode

Voici le produit de 165 par 72 calculé par la méthode « per gelosia » (1),
le produit se lit en –dessous, on obtient 11 880 :

Réponse :
Dans chaque rectangle le nombre inscrit correspond au produit de deux chiffres choisis dans chaque nombre. Par exemple le produit des chiffres des unités est 10 inscrit en bas à droite dans le grand rectangle. Les diagonales organisent de fait, les unités, les dizaines, les centaines, les unités et les dizaines dans la classe des mille.
4165x72=(100+60+5)x(70+2) les 6 cases sont les six produits 2x5 ; 70x5 ; 60x70 ; 60x2 ; 100x70 ; 100x2 ; ainsi les diagonales mais ensemble les produits avec le même nombre de zéros.

Exercice 8 : Par quel nombre suffit-il de multiplier 98 765 432 pour n’obtenir que des chiffres 8 ?

Réponse :
On cherche ? tel que 98 765 432 x ? = 888 888 888
Pour trouver le ? on peut simplifier 12 345 679 x ? = 111 111 111 et on trouve ? = 9.

Exercice 9 : Soit un nombre entier de trois chiffres noté abc (a est le chiffre des centaines, b le chiffre des dizaines, et c le chiffre des unités). Si abc est divisible par 11 alors a-b+c est divisible par 11.

Réponse :
Si 100a + 10b + c= 11k alors (99a+a)+(11b-b)+c=11k ; ce qui s’écrit 99a+11b+(a-b+c) multiple de 11 comme 99a+11b est un multiple de 11 pour que la somme soit un multiple de 11 il faut et il suffit que a-b+c soit un multiple de 11.

Exercice 10 : Le carré d’un nombre réel positif est toujours supérieur ou égal à ce nombre.

Réponse :
Faux, par exemple, le carré de 0,5 est 0,25 et 0,25 est inférieur à 0,5.